GPS /DR组合定位技术的仿真研究

摘　要　根据DR传感器误差的数学模型,将其误差参数作为状态变量,建立了基于‘当前’统计模型的GPS/DR组合定位的
卡尔曼滤波模型。仿真结果表明该算法在多种情况下均可使定位精度保持在较高范围内,完全可以满足普通车辆的定位
要求。

关键词　全球定位系统　　航位推算　　卡尔曼滤波

     目前,对于陆用车辆定位来说,较常用的定位方式有利用全球定位系统( Gobal Position System,GPS)和航位推算(Dead Reckoning, DR)两种。GPS定位具有全球地面连续覆盖、定位精度高和抗干扰能力强等诸多优点,用户只需要利用GPS接收机就可以方便的得到车辆的三维位置、速度和时间等信息。但当车辆行使在市区高层建筑物、隧道等特殊区域时,会造成GPS卫星信号的质量下降,甚至中断;造成定位误差增大和定位的不连续[ 1 ] 。DR 定位是一种完全自助式的定位方法,其原理主要是利用航向传感器和距离传感器实时检测车辆的航向角和位移,从而推算出车辆的位置信息,具有短时间定位精度高、自主行强等特点[ 1 ] 。由DR的定位原理可知,DR的推算过程其实是一个信息累加的过程。随着时间的推移,航向传感器和位置传感器的测量误差会使定位误差不断累积加大。因此,需选用高精度的DR传感器来提高测量精度。但是,这必然会提升定位系统的成本,而成本问题是目前影响定位系统普及和发展的一个主要问题。因此,选用低成本的DR传感器,充分利用GPS和DR两种定位方式优势,相互补充校正的GPS/DR组合定位方式成为一种必然的选择。

1　GPS /DR组合定位的卡尔曼滤波算法

利用GPS/DR组合定位时,在定位过程中不可避免的伴随着各种随机干扰,这些干扰势必造成对定位精度的影响。因此,要对其进行滤波处理,以减小这些随机干扰对定位精度的影响。卡尔曼滤波器是一种常用的方法。在应用卡尔曼滤波器时,需要建立系统的状态方程和量测方程。

1. 1　状态方程的建立

由于采用低成本的DR传感器,因此测量误差较大,为了能准确的估计和校正DR传感器的测量误差,需要确立其误差模型,这里采用常用的DR传感器:角速率陀螺仪和里程计。

角速率陀螺仪的测量输出可表示为[ 2 ] :
ω测= ( KT +δK)ω真+ω0 +δω +w1 (1)
(1)式中: ω测:陀螺仪的实际输出角速率; ω真:车辆的真实角速率; KT :陀螺仪的标称刻度因子; δK :刻度因子误差; ω0 :陀螺仪的零点标称值; δω :陀螺仪的零点标称误差; w1 :陀螺仪的量测噪声。w1可表示为的高斯白噪声, δK和δω可用一阶马尔可夫过程描述[ 3 ] ,即δÛK = - τ1δK + w2δÛ ω = - τ2δω +w3 ,τ1 和τ2 分别为马尔可夫过程的相关时间常数的倒数, w2 和w3 分别为和的高斯白噪声。里程计的测量输出可表示为[ 4, 5 ] :S测= (ST +δS ) N +w4 (2)

(2)式中: S测:定时间内车辆的行进距离; ST :里程计的标称刻度因子; δS :刻度因子误差; N : 定时间内里程计发出的脉冲总数; w4 :里程计的量测噪声。

w4 可表示为的高斯白噪声, δS 为一阶马尔可夫过程[ 4 ] ,即: δÛS = -τ3δS +w5 ,τ3 为马尔可夫过程的相关时间常数的倒数, w5 为的高斯白噪声。由以上的分析可以看出角速率陀螺仪的主要误差参数为刻度因子误差δK和零点标称误差δω、里程计的主要误差参数为刻度因子误差δS 。因此,在应用Kalman滤波时将其扩展为状态变量进行在线估计。

将车辆的运动看成东向和北向的二维运动,车辆的模型选“当前”统计模型, 取系统的状态变
量为[ 6 ] :
X = [ e　ve 　ae 　n　vn 　an 　δK　δω　δS ]T
(3)
(3)式中e , v e , a e分别表示东向的位置、速度和加速度分量; n , v n , a n分别表示北向的位置、速度和加速度分量。系统的离散化状态方程为:
X ( k + 1) =Φ ( k + 1) X ( k) +U ( k) +W ( k)
(4)
Φ ( k + 1) = diag[Φe ( k + 1) , 　Φn ( k + 1) ,
Φδ ( k + 1) ] (5)
Φe ( k + 1) =
1 T 1 /τe (τe T + e-τeT - 1)
0 1 1 /τe (1 - e-τeT )
0 0 e-τeT
(6)
Φδ ( k + 1) = diag[ e-τ1T 　e-τ2T 　e-τ3T ] (7)
将(4)式中的τe换成τn可得Φn ( k + 1) ,其中T为采样周期, τe和τn分别为东向和北向的机动时间常数的倒数。
利用“当前”统计模型的自适应滤波算法[ 7 ] ,可将(2)式简化为: X ( k + 1) = Φ1 ( k + 1) X ( k) +W ( k) 。
其中:
Φ1 ( k + 1) = diag[Φ1e ( k + 1) , 　Φ1n ( k + 1) ,
Φ1δ ( k + 1) ] (8)
Φ1δ ( k + 1) =Φδ ( k + 1) (9)
Φ1e ( k + 1) =Φ1n ( k + 1) =
1 T T2 /2
0 1 T
0 0 1
　(10)

1. 2　量测方程的建立

取GPS接收机的东向和北向位置信息eG 和nG ,角速率陀螺的输出ω测,里程计在一个采样周期T内的输出S测为观测量,即观测向量:
Z = [ eG , 　nG 　ω测　S测]T (11)
可取KT = ST = 1,ω0 = 0 ,可得:
Z =
eG
nG
ω测
S测
=
e
n
(1 +δk)
9
9t arc tan
ve
vn
+δω
(1 +δS ) T v2
e + v2
n
+
v1
v2
ω1
ω4
(12)
v1 和v2 是GPS接收机东向和北向的位置测量噪声,分别为(0,σ6
2 )和( 0,σ7
2 )的高斯白噪声。对( 10)
式进行离散化后可得:
Z ( k) =
e(k)
n (k)
1 +δK(k + 1)
vn (k) ae (k) - ve (k) an (k)
ve
2 (k) + vn
2 (k)
+δω(k)
1 +δS (k + 1) T ve
2 (k) + vn
2 (k)
+
[ v1 ( k) v2 ( k) v3 ( k) v4 ( k) ]T (13)
即: 　　Z ( k) = h [X ( k) ] +V ( k) (14)
对(14)式进行离散化处理,再一步预测^ X ( k,
k - 1) 处展开,忽略高次项可得:
Z ( k) = h [ ^ X ( k, k - 1) ] +
5h [ ^ X ( k, k - 1) ]
5[ ^ X ( k, k - 1) ]
×
[X ( k) - ^ X ( k, k - 1) ] +V ( k) (15)
令量测矩阵H ( k) =
5h [ ^ X ( k, k - 1) ]
5[ ^ X ( k, k - 1) ]
=
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 H31 H32 0 H34 H35 H36 1 0
0 H41 0 0 H44 0 0 0 H48
(16)(16)式中: 　　H31 = [ 1 +δ^K ( b) ] ×
[ ^ae ( b) ^ve ( b) - 2^ve ( b) ^vn ( b) ^ae ( b) - ^an ( b) ^vn ( b) ]
^ve
2 ( b) + ^vn
2 ( b)
(17)
H32 = [ 1 +δ^K ( b) ]
^vn ( b)
^ve
2 ( b) + ^vn
2 ( b)
(18)
H34 = [1 +δ^K ( b) ] ×
[ ^an ( b) ^ve ( b) - 2^ve ( b) ^vn ( b) ^ae ( b) - ^ae ( b) ^vn ( b) ]
^ve
2 ( b) + ^vn
2 ( b)
(19)
H35 = - [1 +δ^K ( b) ]
^ve ( b)
^ve
2 ( b) + ^vn
2 ( b)
(20)
H36 =
^vn ( b) ^ae ( b) - ^ve ( b) ^an ( b)
^ve
2 ( b) + ^vn
2 ( b)
(21)
H41 = [1 +δ^ S ( b) ]
Tve ( b)
^ve
2 ( b) + ^vn
2 ( b)
(22)
H44 = [1 +δ^ S ( b) ]
Tvn ( b)
^ve
2 ( b) + ^vn
2 ( b)
(23)
H48 = T ^ve
2 ( b) + ^vn
2 ( b) (24)
上述各式中b = ( k, k - 1) 表示k - 1时刻到k时刻的一步预测。

1. 3　自适应Ka lman滤波算法

Kalman滤波方程为:
X ( k, k - 1) =Φ1 ( k) X
∧
( k)
X
∧
( k) = X ( k, k - 1) + K ( k) { Z ( k) -
h [X ( k, k - 1) ] }
K ( k) = P ( k, k - 1) HT ( k) [H ( k) P ( k, k - 1)
HT ( k) + R ( k) ]- 1
P ( k) = I - K ( k) H ( k) P ( k, k - 1)
P ( k, k - 1) =Φ ( k) P ( k - 1)ΦT ( k) +Q ( k - 1)
(25)
(25)式中: R ( k) 为系统噪声的协方差矩阵:
R ( k) = diag[σ6
2 , σ7
2 , σ1
2 , σ4
2 ],
　　Q ( k) 为系统噪声的协方差矩阵,为了计算方便,在Q ( k) 计算时,用Φ1 ( k) 代替Φ ( k) ,可得:
Q ( k) = E [W ( k)WT ( k) ] =
diag[ 2τeσe
2Qe ( k) , 2τnσn
2Qn ( k) , Qδ ( k) ]。
其中: σe
2和σn
2分别为东向和北向机动加速度的方差。
Qδ ( k) = diag[σ1
2 (1 - e- 2τ1T ) , σ2
2 (1 - e- 2τ2T ) ,
σ3
2 (1 - e- 2τ3T ) ],
Qe ( k) = Qn ( k) =
T5 /20 T4 /8 T3 /6
T4 /8 T3 /3 T2 /2
T3 /6 T2 /2 T
。
2　仿真分析

利用Monte Carlo方法[ 8 ]在MATLAB环境下对上述算法进行仿真,验证定位精度,选均方根误差(RMSE)为仿真精度指标,仿真分别在以下两种情况下进行:

(1)假设车辆匀速运动,车辆的初始状态为:

X (0) = [ 0, 15, 0, 0, 15, 0, 0, 0, 0 ]T
　　采样周期T = 0. 1 s,采样点数N = 2 000,车辆运动过程历时200 s,Monte Carlo仿真次数为50次,其余仿真参数如下:
τ1
=τ2 =τ3 = 0. 01 s- 1 , τe =τn = 1 s- 1 ,
σ1 =
0. 4°
s
,
σ2 =σ5 = 0. 001, σ3 = 0. 1, σ4 = 1 m / s, σ6 =
σ7 =15 m,
^ X (0) = [10, 　16, 　0. 2, 　10, 　16, 　0. 2, 　0,
　0, 　0 ]T ,
P (0) = diag[ 100, 　1, 　0. 04, 　100, 　1, 　0. 04,
　0, 　0, 　0 ]。

仿真曲线如图1和图2所示,表1为位置精度指标比较表。单独定位时,在仅仅历时100 s后,由于误差累积效应,位置误差就已经达到了几乎400 m,从表1中也可以很清楚的看到GPS/DR组合定位的定位精度比GPS单独定位和DR单独定位的定位精度高,分析原因主要是一方面由于对DR传感器的误差参数进行了在线估计,实现了误差的动态补偿; 另一方面由于GPS/DR组合定位充分利用了GPS和DR两者的定位信息,两者相互补偿和校正,从而有效的抑制了DR误差累积效应,使得定位精度得到了提高。

(2) 为了说明算法的可靠性,假设k时刻GPS信号被遮挡,有DR单独工作,此时可以用下式来代替(10)中的e ( k) 和n ( k) 继续滤波:
e ( k) = ^e ( k - 1) + S测( k) sin[ arc tan
^ve ( k - 1)
^vn ( k - 1)
+
Tω测( k) ],
n ( k) = ^n ( k - 1) + S测( k) cos[ arctan
^ve ( k - 1)
^vn ( k - 1)
+
Tω测( k) ]。
GPS中断时位置误差曲线假设在200 ～500 采样点中GPS卫星信号消失,即GPS卫星信号中断30 s,假设车辆匀速运动,车辆的初始状态为:
X (0) = [ 0, 15, 0, 0, 15, 0, 0, 0, 0 ]T。
其余仿真参数同第一种情况, 仿真曲线如如图3所示。

由图4可以看出滤波精度总体保持在10 m以内,尤其在GPS卫星信号中断的30 s过程中,也达到了较高的位置定位精度,始终保持在10 m以内,完全弥补了GPS信号中断造成不能定位的缺陷,有效的提高了定位系统的工作可靠性。

3　结语

采用GPS/DR组合定位方式,将DR传感器的测量误差参数扩展为状态变量,利用基于‘当前’统计模型的GPS/DR组合Kalman滤波算法对误差参数进行在线估计,有效的抑制了DR误差累积效应,在车辆作匀速和GPS信号中断的情况下,对算法进行了计算机仿真,从仿真结果看均获得了较高的定位精度,可以满足普通车辆高精度和高可靠性的要求,但在车辆作较为复杂的运动时,该算法还需作进一步的改进和研究。


参考文献

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4　徐爱功. 自动车辆定位导航系统中传感器的误差分析. 测绘工程. 1997; 6 (1) , 38—39
5　徐爱功. 用GPS观测值对推断数据进行非线性平滑的模型建立.解放军测绘学院学报, 1997; 14 (2) : 87—88
6　寇艳红, 张其善, 李先亮. 车载GPS/DR组合导航系统的数据融合算法. 北京航空航天大学学报报, 2003; 29 (3) : 264—268
7　周宏仁,敬忠良,王培德. 机动目标跟踪. 北京: 国防工业出版社, 1991
8　何　友, 修建娟, 张晶薇, 等. 雷达数据处理及应用. 北京: 电子工业出版社, 2006

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