GPS水准拟合方式的统计分析及拟合方式的选择

【摘　要】　根据实测资料采用各种拟合方式所得的成果进行统计分析，发现同一个测区、同一组起算数据采用不同的拟合方式获得的结果，与水准测得的成果有着显著的差异。据此，提出通过选择拟合方式来获得较可靠成果的方法。

【关键词】　GPS水准 拟合方式 统计分析 选择

　　国内外许多试验和实测成果业已表明，GPS测量方法可以替代传统的地面平面控制测量，但用来替代常规几何水准测量尚有待进一步研究解决。如何利用GPS给出的大地高，有效地将其转换成我国采用的正常高系统，即是问题之一。

　　笔者所在单位在1996年底引进了4台套美国CMT公司生产的March Ⅱ GPS多功能全球定位系统，在城乡建立了不少的D、E级GPS控制网，这些网的平面精度都较高，其高程大部分采用了四等几何水准方式施测。在对成果进行再整理中发现，对同一个测区的观测成果，采用不同数量的起算数据或同样的一组起算数据，采用不同的拟合方式所得到的GPS水准高程，输出的高程评定精度都较高，而与几何水准测量所得的高程相比则有着显著的差异。欲在联测的重合起算高程点极其有限或仅仅满足起算点数要求的情况下，通过对各种拟合方式所得的平差结果进行分析检验，选择GPS水准最佳拟合方式，使所得成果更为可靠，是一项十分有意义的工作。在此，笔者提出一个检验选择的方法，以供参考。

　　1 GPS水准的原理及拟合方式的数学模型

　　由GPS所测得的高程是测站相对于WGS-84椭球面的大地高，而我国所采用的高程系统是相对于似大地水准面的正常高系统。地面点大地高，正常高，如图1所示，存在以下关系：

　　H=Hg-△ξ （1）
　　式中，H为正常高，Hg 为GPS测得的大地高，△ξ为高程异常。

　　从上式可知：Hg可以由GPS相位测量精确测定，如何求得正常高，关键在求解各点的高程异常△ξ。为了求定精确的高程异常△ξ值，可以在GPS网中选择一定数量均匀分布的点，采用几何水准方式测定其高程，然后利用这些重合点进行数值拟合，以求得各待定点的正常高。根据拟合方式的不同，有不同的拟合方程式，它们分别为：

　　式中a、b、c、d、e、f分别为多项式系数为相对GPS网重心的平面坐标分量。从上面四个数字模型的拟合方程式中的待定系数可知，要求解方程，GPS网中至少要联测1、3、4、6个重合己知高程点。利用这些重合已知高程点的高程异常值Δξ和坐标值，即可按最小二乘法求出拟合方程的待定系数及待定点正常高。


　　2 GPS水准的拟合方式统计

　　近年来，我院在贵港覃塘、来宾廖平等测区先后采用了GPS全球定位系统技术进行控制测量。首级控制网均按D级精度布设，为了满足1：500、1：1000地形测绘的需要，在此基础上采用E级GPS进行加密。这两级的控制点在测区内都联测了四等几何水准。D、E级GPS平面精度相当高，点位中误差都在3cm以内，边长相对中误差都优于1/8万。图根控制的高程闭合差亦很理想。这些测区既有平地也有丘陵，现以已收集的数据，对原用于平面控制平差的基线解算成果，按高程起算点分布相对均匀的原则，对覃塘和廖平两个测区在原起算数据不变的情况下逐渐增加起算点数，或同一组起算数据采用不同的拟合方式所得的平差结果，与用四等几何水准测量获得的同一个点的高程进行比较。即：

　　式中、分别为同一点拟合的GPS水准高程与实测几何水准高程，为两者之差。现分别对两个测区的结果、max、拟合平差输出的mb平均值m及有关网形的基本情况进行统计，分别列于表1、表2。表中以A、B、C、D分别表示（2）、（3）、（4）、（5）式的数学模型拟合方式。
   

　　3 GPS水准拟合方式结果的分析

　　从上面两个测区拟合方式的统计结果中，发现有如下几个规律：

　　1）随着起算数据的增加，同一种拟合方式的拟合结果越来越好，当起算数据达到一定量的时候，拟合精度在某一数值摆动。
　　2）平差结果所输出的高差中误差不能反映该网的拟合精度，其数值反映的往往是假象。
　　3）若起算数据刚好达到某种拟合方式数字模型所需的个数时，由于没有多余的检核条件，往往会产生较大的粗差。
　　4）同一组数据，采用不同的拟合方式，其拟合结果有着显著的差异，关于拟合结果的优劣，应以平差结果值与几何水准的方差 
的大小来衡量。在此我们采用科克伦（Cochran）法检验。

　　k个误差序列对应的（无偏）样本方差为，，…，，其中 （1≤i≤k）有相同的自由度v。
　　零假设 ：  - -… ，备择假设 ：k个 
（1≤i≤k）
全相等。
　　  （7） 
　　进行检验时，根据显著性水平a及k、v的值，由表3查得W（k）的1-a分位数W1-a，作出判断，
　　W（k）≥W1-a （8）
　　成立，拒绝 
，如不成立，则接受 。

　　我们在这里检验时，可以理解为：如拒绝 ，则对应的拟合方式劣于其它方式，如接受 ，则认为拟合结果一致，无显著差别。检验时，先将 的方差从大到小顺序排列，先从最大的开始，按（7）、（8）两式进行检验。若拒绝，则舍去该值，逐次循环检验就可以获得拟合结果优劣的顺序。现按该法，将上述两测区的拟合方式结果的比较列于该表4。表中“>”表示“优于”。



　　4 GPS水准拟台方式的选择

　　因为所有未知数或平差值的函数都可表示为观测量的线性组合，因此，当观测值L为正态分布时，未知数或平差值也必须为正态分布。据此按A、B、C、D方式拟合定点的高程也为正态分布。只不过各个分布的中误差不一样。为此，待定点的最或是值可以通过求其加权平均值获得。统计分析发现有如下关系：

　　式中分别为A、B、C、D拟合方式所得各待定点高程值，按（10）、（11）、（12）、（13）式求得检验方差自由度v=n-1（n为拟合点数），按科克伦法逐次检验，找出一个较为可靠的拟合方式。按该法对上述两个测区的检验结果列于表5。
   

　　5 结束语

　　1）从实例中可以看出，该检验选择法在起算点分布均匀的条件下行之有效。

　　2）拟合结果与起算点的位置及GPS水准网的形状有关，起算点分布不均匀，在图形怪异情况下，将造成较大的差异；建议使用A方式为好。

参考文献 

[1] 覃沛璋 误差分析与数据处理 国防工业出版社 1992
[2] [西德]H.沃尔夫 平差计算（实用公式） 测绘出版社 1983 
[3] 胡明城、鲁福 现代大地测量学（上、下册） 测绘出版社 1994 
[4] 王福保等 概率论及数理统计 同济大学出版社 1994
[5] 刘大杰、施一民、过静君 全球定位系统（GPS）的原理与数据处理 同济大学出版社 1996

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