GPS零基线网的试验和意义以及同步环线性相关性论证
【摘 要】 本文通过GPS在满足同步观测极限条件下共天线零基线向量构成的同步网的试验与分析，表明同步基线是线性无关的。同时利用网络图论理论，严密论证同步环是线性相关的，并提出星形树——三角孔独立同步环检核新方法。
我国又一项跨世纪的宏伟工程——长江口深水航道治理工程新近开工。专家建议该工程的首级GPS整个控制网应进行同步测量，因此继续深入探讨GPS同步基线向量的线性无关性和同步环的线性相关性是必要的。
所谓同步基线，是指n台接收机在大致相同的时间段内接收GPS卫星信号，经载波相位拍频处理，解算出来的(1)/(2)(n2-n)条基线bi。这些基线相对于在不同时间段得到的异步基线而言，其相关特性当然要更明显些，但决不能说同步基线就是线性相关的，而仅有其中(n-1)条才可称“独立基线”。严格地说，无论同步还是异步基线都具有既相关又独立的二重属性：一方面，由于GPS观测对象都是遵循卫星轨道力学原理运动的相同有限的人造地球卫星，接收的是相同L载波的无线电信号，反映在基线向量之间必然存在相关性。另一方面，由于客观世界复杂的非线性特征，各种误差源细部的时空随机过程是无法预测和穷尽认识的，如果依赖简单的叠加原理即线性模型去诠释上述相关属性，只能得到线性无关的结论。
大量实践表明，同步基线由于受各测站附近地物、地貌以及交通、通讯的限制，实难达到“绝对的同步”。并且受到卫星摄动、卫星钟差、电离层和对流层折射、潮汐、相对论效应、软件质量还有接收机内部噪声等诸多因素的影响，其同步环闭合差从来不为“零”。众所周知，对于同步基线向量b1、b2、…bm,如果不存在不全为0的数k1、k2、…km，使
k1b1+k2b2+…+kmbm=0
则称b1、b2、…bm线性无关。同步环闭合差非零，即同步基线是线性无关的；亦即，同步网中不存在某条基线可以由其他基线线性表示，派生出来。从这个意义上界定，应该将每条同步基线作为独立的基线对待［1］。
GPS零基线试验，是将两台接收机通过功率分配器连接到同一副接收天线上进行差分定位测量，这种方法可用于检定仪器标称精度中的固定误差影响［2］。GPS零基线网试验，是将3台或3台以上接收机，通过“有源可调功率分配器”也是连接到同一副接收天线上，并由开关K控制(图1)，确保观测的同步，使经适当放大的信号供每台接收机采集，经差分定位测量产生(1)/(2)(n2-n)条零基线组成同步网。这项试验的特点如下：
1. 创造了理想的极限同步观测条件，从而根除了接收机内部噪声之外的其他误差源的影响。
2. 基线长度的真值已知且等于0，是评定每条零基线质量唯一正确的标准。
3. (n2-n)条零基线组成的同步网，可进行基线向量之间相关属性的分析研究，其结论必定适用于GPS生产作业的一般观测情况。
这种可以重复实现的零基线网试验最初于1994年11月7日上午在武测4号楼顶进行的。使用3台Trimble 4000 SST(其出厂序号分别为0527、0528、0530)，共用接收天线出厂序号为052，作业时间为10∶15～11∶15约1小时，可观测到4、6、16、24、26、27等6颗星，卫星分布均匀，图形状况良好，PDOP<5(图2)。试验中开关K的使用是关键，首先用统一的参数对各接收机作初始化设置，并按图1所示与共用天线等连接起来，各接收机经静置和预热一段时间进入等待接收信号状态。此时，闭合K以保证GPS信号在同一时刻被每台接收机采集；试验准备结束时，先断开K，使各接收机在同一时刻停止接收信号，然后再关闭这些接收机。由于各接收机时钟的石英切片的差异会产生不同的寄生振荡，各级电路中大量带电微粒不规则运动也产生噪声，特别是通过窄带方式提取信号的锁相环PLL、用于同步跟踪的延迟锁定环DLL及处理移相键控信号的科斯塔斯环的参数微小的不同，将产生不同的时延、附加频移和附加相移。试验过程中从接收机显示屏上纪录历元的计数情况，可以辨别出0530、0528捕捉、跟踪、锁定卫星的响应能力优于同批出厂的0527。因此在测量中引入了误差，而且这些误差在理论上是不能也不必消除的，这就导致共天线同步观测的3台接收机各自独立得到3套不同的未经任何事后处理的单点定位结果(表1)。
表1 共天线各接收机单点定位值
接收机号 B L 大地高/m
0527 30°31′41.11384″ 114°21′25.81887″ 26.6
0528 30°31′41.33706″ 114°21′25.51206″ 6.0
0530 30°31′41.47931″ 114°21′25.59971″ 23.4
用Trimble公司的GPS相对定位软件进行解算，对于零基线宜选用单频L1固定双差解(表2)，其中rms和rdop值越小(小于百分之几)，ratio值越大，则基线解越可靠。当ratio>3，基线解可靠；而ratio>8，基线的坐标增量也可靠。如表2所示，其ratio>100，坐标分量的精度均为1 mm。3条零基线长度均小于该仪器5 mm±1×10-6D标称精度中的5 mm固定误差，试验是成功的。
表2 零基线固定双差解
零基线号 零基线分量及其精度/mm 零基线长S/mm ratio rdop/m/周 rms/周
dx(σdx) dy(σdy) dz(σdz)
b1 0527-0528 2(1) -1(1) 0(1) 2.0 104.120 0.050 0.011
b2 0527-0530 -1(1) 0(1) 1(1) 1.3 105.420 0.050 0.011
b3 0528-0530 -2(1) 1(1) 1(1) 2.6 179.910 0.050 0.008
此次试验的意义在于由3条零基线可以构成零基线同步网(图3)，该网具有很强的非线性相关属性。根据《全球定位系统测量规范》要求作同步观测环检核：
b1-b2+b3=(2 -1 0)-(-1 0 1)+(-2 1 1)＝(1 0 0)
检核结果表明，这3条零基线组成的路径长为5.9 mm的闭合环，其中 ，即同步零基线向量的线性组合是非零向量。它顽强地显示了同步基线的线性无关性。因此，应充分发挥 (n2-n)条同步基线的潜能，不要仅局限在(n-1)条“独立基线”上，造成不必要的浪费。
需要特别指明的是，假设共天线的若干接收机真的能够采集到“绝对相同”的GPS信号，则不仅其零基线向量的任何一种线性组合不为零向量，而且每条零基线的长度不为零。但这一结论只能在实验室计算机上采用模拟方法，并已经得到证实。某些所谓同步环闭合差主要反映了软件系统不完善性的解释，并没有抓住事物非线性特征的本质。
与同步基线线性无关迥然不同的是同步环的线性相关性。GPS同步观测环检核是外业及时评估卫星原始数据质量的重要手段，《规范》为此作了明确的技术指标要求。可是有的学者认为，对于多边同步环，如4站以上同步观测一个时段，可以产生大量同步闭合环，在处理完各边观测值后，提出了应检查“一切可能”的环闭合差。以图4为例，A、B、C、D 4站应检核：
(C1) AB-BC-CA
(C2) AC-CD-DA
(C3) AB-BD-DA
(C4) BC-CD-DB
(C5) AB-BC-CD-DA
(C6) AB-BD-DC-CA
(C7) AD-DB-BC-CA
有些学者虽然发现同步环中超过三边形同步环，都可由三边形同步环组合得到，故可不重复检核。但仍坚持同步时段中“任”一三边同步环的坐标分量闭合差和全长相对闭合差按独立环闭合差要求检核的意见。
这些观点缺乏对同步环间网络拓扑特性的研究，给野外数据检核增加了大量无意义的重复工作，因为上述“一切可能”的环或者“任”一三边同步环之间都是线性相关的。如何确定用最少的独立环就可描述GPS全网闭合回路结构的全部信息，才是应该讨论的基本问题。
如果n站同步观测则产生 (n2-n)条同步基线，这种具有n个顶点，每对顶点间都有且只有一条基线向量相连的图形称为有向完全图Kn。为了分析Kn的环结构，首先定义环矩阵C＝(cij)，其行表示环向量、列表示基线向量，式中
对于与图4同构的有向完全图K4(图5)，其环矩阵 如下
从环矩阵 不难发现
c1+c2-c3-c4=(1 -1 0 1 0 0)+
(0 1 -1 0 1 0)-
(1 0 -1 0 0 1)-
(0 0 0 1 1 -1)＝
(0 0 0 0 0 0)
即 c1+c2-c3＝c4
从图5有向完全图K4也能得到相同结果。
如图6所示，由于c4中并未出现新的基线向量，都是使用c1、c2、c3已经使用过的基线，c4当然能由它们线性表示出来。因此，将“任”一三边同步环闭合差要求检核的观点也是不妥的。
仔细研究环矩阵 ，发现其右上角存在一个3阶单位阵，这是 中不等于零的最高阶子式，C7×6的秩rank ＝3，同步环是线性相关的。其独立的同步环只有3个，通过这3个独立环的简单线性组合就能派生出其余的同步环。但并不是任意3个同步环都是独立的，它们不一定包括着Kn的全部环结构信息，如c1、c2、c5，c3、c4、c5,c1、c4、c6,c2、c4、c7……就不组成完备的独立环。另外，即使是独立的同步环，也有很多组，同一幅K4具有多达16组不同的独立同步环(表3)。
因此，必须研究Kn的树，树是Kn的一个连通子图，是联接全部顶点所需要的最少(n-1)条基线向量的集合，它具有不含任何回路的特征。同一Kn有多达nn-2棵不同的树，当n=3,4,5…，其树迅速从3棵猛增至16棵(图7)、125棵等［3］。环是构造一个闭合回路的基线向量的集合。一个Kn虽有许多的环，但这些环是线性相关，人们感兴趣的是既彼此独立又可由其线性表示其余环的那些完备的环。通常选Kn的某棵树用于确定一组独立环，因为树具有所有顶点均被基线向量联接，又不包括任何回路的拓扑特性，当每次再加进一条基线，便形成一个只包括该基线的回路。所以，建立在同步基线线性无关理论基础上的独立同步环的个数为： (n2-n)-(n-1)= (n2-3n+2)。当n=4，则独立同步环的个数为3，这与前文对环矩阵C7×6的研究结论完全一致。
Kn的树多达nn-2棵，特别是n>4时，树的形状千姿百态，但有一类星形树不因n的多寡而异。这种星形树只有n棵，它呈辐射状，所有(n-1)条基线向量都交汇于一个顶点(见图7第一行)。星形树只要再增加一条基线，构成的闭合回路必定是三角形的网孔，它是含基线最少且路径甚短的回路，通过这种星形树——三角孔独立同步环能够作严格的检核，从而可有效地反映采集
GPS数据的质量。下文实例告诉我们，某些包括过多基线和过长路径的闭合环检核虽然表面结果更好些，其实没有任何新的内容。
武测校园GPS网始建于1994年秋，先后用多种接收机反复测量而建成，系标准的有向完全图K4(图8)。该网由1号楼、7号楼、图书馆、4号楼暨6条基线向量(表4)组成。现利用其中索佳GSS1A的一套数据，作星形树——三角孔独立同步环检核及其同步环线性相关分析。选定A(1号楼)为顶点，并由b1、b2、b3构成星形树，分别加进b4、b5、b6构成c1、c2、c3 3个三角网孔，根据表4提供的基线向量数据作闭合环检核(表5)。显然图4中某些学者认为“一切可能”的环即c4、c5、c6、c7是不需要再作检核了，如按表4可得
c4=b4+b5-b6=(25.8831 -216.7910 349.3721)+
(-207.8271 96.5239 -299.0064)-(-181.9443
-120.2677 50.3634)＝(0.0003 0.0006 0.0023)
其实，由c1、c2、c3按表3第1组所列的线性组合，极容易地得到相同结果，即
c4＝c1+c2-c3=(0.0005 -0.0004 0.0033)+
(0.0005 -0.0004 -0.0019)-(0.0007 -0.0014
-0.0009)＝(0.0003 0.0006 0.0023)
表4 武测GPS网同步基线一览表
基线名 基线长/m dx/m dy/m dz/m
b1 A-B (1-7) 151.5 725 50.4 818 85.6 514 -114.4 100
b2 A-C (1-图) 279.7 046 76.3 644 -131.1 392 234.9 588
b3 A-D (1-4) 150.2 751 -131.4 632 -34.6 149 -64.0 457
b4 B-C (7-图) 411.9 820 25.8 831 -216.7 910 349.3 721
b5 C-D (图-4) 376.7 145 -207.8 271 96.5 239 -299.0 064
b6 B-D (7-4) 223.8 404 -181.9 443 -120.2 677 50.3 634
表5中c5、c6、c7的闭合差有的达到1/72万，似乎高于由3条基线构成的回路。这实质上是由于它们包括了4条基线，路径较长的缘故所致，GPS作业时进行环闭合差检核应忌讳多基线长路径的回路。因为c5、c6、c7同样也可以由c1、c2、c3线性表示出来，所以这些检核是无意义的重复。
表5 武测GPS网同步环检核一览表
闭合环名 坐标分量闭合差/mm 路径长/m
Σdx Σdy Σdz
c1 AB-BC-CA 0.5 -0.4 3.3 843.2591 1/250854
c2 AC-CD-DA 0.5 -0.4 -1.9 806.6942 1/402342
c3 AB-BD-DA 0.7 -1.4 -0.9 525.6880 1/291152
c4 BC-CD-DB 0.3 0.6 2.3 1012.5369 1/422625
c5 AB-BC-CD-DA 1.0 -0.8 1.4 1090.5440 1/574767
c6 AB-BD-DC-CA 0.2 -1.0 1.0 1031.8320 1/722427
c7 AD-DB-BC-CA -0.2 1.0 4.2 1065.8021 1/246597
综上所述，归纳两点意见：
1. 通过共天线零基线网的极限试验及人们的大量实践，表明同步基线是线性无关的。此结论积极有益，可为发挥每条基线的作用提供理论依据。
2. 同步环是严格线性相关的，利用星形树——三角孔新方法作同步环检核简捷易行。对于复杂的GPS网，也要遵循：独立环数＝基线总数-测站总数+1的原则进行检核。
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