投影于抵偿高程面上的坐标计算方法及其公式推导

1  前  言

国家有关规范规定，在大、中型工程测量中，其控制网必须与国家控制点联测，或采用国家坐标系统，以达到测量资源共享、成果共用的目的。国家坐标系统是采用高斯－克吕格正形投影（简称“高斯投影”），即先由大地面投影到参考椭球面，再由参考椭球面投影到高斯平面；而高程面则是投影到大地水准面上。公路测量常用的处理方法是，采用分带形式，以减小高斯投影产生的长度变形；而高程面的投影，因为测区平均高程面与大地水准面的差值和地球曲率半径相比微不足道，故忽略不计。然而，随着公路建设的不断扩大与发展，公路（特别是高速公路）从平原微丘区向山岭重丘区（乃至高原地区）延伸，测区高程面由数10m增加到数百米乃至数千米；由于高程面的不同所产生的长度变形对工程建设的影响是我们必须考虑的问题。如，据有关计算表明，当大地高程面H＝700m时，其长度变形为11cm/km，远大于规范允许值，这对于重要工程的测量是一个不可忽略的小数。本文通过分析讨论，提出在（任意）选定的抵偿高程面上的平面坐标的计算方法来解决长度变形问题。

1   独立坐标系中投影于抵偿高程面上的坐标换算

在独立坐标系中，原有坐标X、Y投影高程面为H0，测区平均高程面为H，为使实测边长与成图平面上的边长相一致，不致产生过大的长度投影变形，需将测区平均高程面H作为抵偿高程面（简称投影面），从而建立新的地方独立坐标系统。利用原有坐标X、Y换算成新的投影面（抵偿高程面）上的独立坐标Xˊ、Yˊ，一般取测区中心或附近点为投影原点（X0、Y0），换算过程中不考虑椭球面正形投影到高斯平面上长度改化变形因素对坐标换算的影响，公式推导如下。如图1所示：

R-投影区地球平均曲 率半径

H0-原坐标投影面高程

H-新坐标投影面（抵偿高程 面）高程

X0、Y0-投影原点坐标

X、Y-原坐标

Xˊ、Yˊ-投影于抵偿高程面上的新坐标

因为：

(Xˊ- X0) /（R+H）= （X- X0）/（R+H0）

Xˊ=X0+（X-X0）（R+H）/（R+H0）

所以：Xˊ=X0+(X-X0) 〔1+（H-H0）/(R+H0)      （1）   

同理：Yˊ=Y0+(Y-Y0) 〔1+（H-H0）/(R+H0) 〕

以上（1）式即为新老坐标投影换算公式

2  投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算

    将1954年北京坐标换算为投影于地方独立抵偿高程面上的高斯平面坐标，按以下两种方法考虑：

2.1  方法一

该方法是以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面，通过计算任一实测边长D0投影于地方独立参考椭球面(即抵偿高程面)并经高斯正形投影改化后，得到新的地方独立坐标系抵偿高程Hp上的高斯平面边长度D2ˊ，与该实测边长在1954年北京坐标系统高斯平面上长度D2（实测边长D0投影于克氏参考椭球上经高斯正形投影改化后在高斯平面上的长度）的比值D2ˊ/ D2关系式，推导出新旧投影面上的高斯平面坐标换算公式。如图2所示：

D0-实测边长长度

R-投影区地球平均曲率半径

D1-克氏椭球面上长度

D1ˊ-地方独立椭球面（抵偿高程面）上  长度

D2-1954年北京坐标系高斯平面上长度

D2ˊ---地方独立坐标系高斯平面上长度 （D1ˊ经高斯正形投影改化后得到的长度）

Hm-实测边长两端点平均高程

Hp-抵偿高程面高程（即投影面高程）

Ym-实测边长两端点距1954年北京坐标系中央子午线之平均距离

Ymˊ-实测边长两端点距地方独立坐标系中央子午线之平均距离

X、Y-1954年北京坐标

Xˊ、Yˊ-投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标

因为： D1 = D0[1 -Hm/（R+Hm）

D1ˊ = D1(1 + Hp /R)

D2 = D1(1 +Ym2/2R2)-------高斯正形投影改化公式

D2ˊ = D1ˊ[1 +Ymˊ2/2(R+ Hp)2]

=D1(1 + Hp /R)[1 +Ymˊ2/2(R+ Hp)2]---------高斯正形投影改化公式

所以：

任一边长投影于抵偿高程面上的高斯平面长度与其投影于1954年北京坐标系高斯平面上的长度之比= D2ˊ/ D2=(1 + Hp /R) [1 +Ymˊ2/2(R+ Hp)2] / [1+ Ym2/2R2]

由于长度投影变形与方向无关，且坐标与长度成正比例线性关系。

因此：

Yˊ= Y(1 + Hp /R) [1 +Yˊ2/2(R+ Hp)2]/ [1+ Y2/2R2]                              

Xˊ= X(1 + Hp /R) [1 +Yˊ2/2(R+ Hp)2]/ [1+ Y2/2R2]

以上（2）式即为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算公式，其中Yˊ 坐标计算可以通过解一元二次方程求得，或者取Yˊ = Y(1 + Hp /R)式计算，误差较小。

2.2  方法二

该方法是首先将原坐标X、Y（1954年北京坐标）进行高斯投影反算，求得大地坐标经纬度L、B。然后在考虑抵偿高程面投影时，重新建立地方独立参考椭球，以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面，即在克氏椭球基础上改变参考椭球长轴a、短轴b的长度，aˊ=a+ Hp，但扁率α（α=1/298.3）、偏心率e保持不变，bˊ= aˊ（1-α），来确定新的地方独立参考椭球面参数。最后令大地坐标B、L保持不变，通过高斯投影正算，求得新建立的地方独立参考椭球面上的高斯平面坐标Xˊ、Yˊ，即为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标。从而间接达到改变投影面（抵偿高程面）时，进行高斯平面坐标换算之目的。

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