精化山区大地水准面的一种方法
摘 要 鉴于我国中西部是多山地区，为满足国家统一高程和山区建设的需要，本文提出了用GPS和测距三角高程的方法确定高程异常，再用地形数据推求重力异常垂直梯度，由此可以经济和快速地实现精化大地水准面的目标。这时边远山区任意一点的精度可达30 cm。
关键词 GPS 测距三角高程 重力异常垂直梯度 大地水准面
1 引言
当今，一些国家已对山区大地水准面的精化做了许多工作，所用方法大多是地面重力和模型重力场、GPS水准、天文水准等，这些方法不一定完全适用于我国的原因是我国山区面积大，山地的海拔高，难以经济而有效地开展全面的重力测量与水准测量；另一方面，GPS在我国的使用已较为普遍，J2、T2、T3或全站式经纬仪已大量存在(可能有不少闲置不用)，这种地面的经纬仪或测距仪与空间技术的GPS相结合，用于高差的测量以及高程异常的测定问题就可以更好地得到解决。由于高程异常就是似大地水准面高，它不具有物理意义，也不能作为高程的起始面，以致人们注意到似大地水准面与大地水准面的区别。在山区似大地水准面高(ζ)与大地水准面高(N)的差别尤为明显。到目前为止，一般人们只顾及(ζ-N)中高程的一次项改正，而没有考虑到它的二次项改正。为此，本文提出用地形质量推求重力异常的垂直梯度，这为顺利进行(ζ-N)中的二次项改正创造前提。关于二次项改正的公式，文献［1］已作了推导，此处不作赘述。
2 高程异常的确定
由于高程异常为大地高与正常高之差，它们分别由GPS和测距三角高程测得，为满足所需精度，现对它们的测定误差加以讨论。
设大地高为H，正常高为h，则ζ=H-h (1)
可由GPS确定大地高，由于它所测得的是地心坐标，即
式中：B、L为大地纬度和经度，e为地球椭球偏心率，N′为卯酉圈上的曲率半径，且
式中： ,a为地球赤道半径，可取为6 378 135 m。
经过各项改正和优化设计后的GPS观测精度现已大为提高［2］。如果取GPS的相对精度为5×10-8，实际有的已达到1×10-8 ［3］，设测点距人卫激光测距(SLR)站为2 000 km,GPS点距为100 km，则相对于SLR站最远处的GPS点大地高的精度可达2.3 cm，连同SLR点的误差，其总精度可达3 cm。现今布设的国家GPS A 级网任一点的精度已达到10 cm［4］，待该网与B级网联合平差后，其精度将更有所提高，如此有可能使大地高(差)的精度达到10 cm(尽管垂直精度稍逊于水平精度)，用这些点与国家水准网相联，则其上高程异常的精度足以对山区任一点加以控制。
至于正常高的测定及其精度可由下式得到，对向观测的测距三角高程所得的正常高高差(其中测距测角可用全站仪测得，测距亦可由GPS测得)：
式中： ,ΔE为正常高的重力改正项，S为i,j的点间距离，αij,αji为往返垂直角，ΔΚ为往返折光系数值，R为地球平均曲率半径，ii,ij,Pi,Pj分别为两测点的仪器高和觇标高，Ui,Uj为两点在观测方向上的垂线偏差，Um为其在线路上的积分的平均值，ΔE为正常高的重力改正项。
由式(4)很容易推得正常高高差的中误差的平方为
式中mα为垂直角观测误差，对于S为1.5 km，mα为1″，则上式中右边第一项误差m1＝±3.6 mm，第二项为距离引起的误差m2＝±5.1 mm，第三项为折光引起的误差m3＝±8.8 mm，第四项为测量仪器高和觇牌高引起的误差(m4)，取m4＝±1 mm，第五项为垂线偏差非线性引起的误差(m5)，m5=±7.5 mm。此处折光系数误差取为±0.1(似乎偏大)，据试验，在珠穆朗玛峰附近的k值仅有0.080±0.005,其周日变化幅度Δk=0.01 ［5］，垂线偏差非线性项的误差为±1″，且可以限制重力项改正误差m6≤±5 mm，如此，正常高高差的总误差为±14.1 mm。显而易见，在上列误差中，折光的影响最大，它约占整个误差的五分之四，其次是垂线偏差项的影响，因此在测距三角高程中研究折光系数及其误差至为重要。关于折光和垂线偏差的影响等问题，我们已在文献［6，7］中加以讨论。但不管怎样，在山区用测距(GPS)三角高程完全可以达到三等水准的精度要求［8］。需说明的是，此处在用GPS测距时仅用厂家标称精度，即5mm+1×10-6D。
如果考虑到与国家GPS点相重合的水准点的起始误差为±15 cm,待求点与该点相距300 km，则对200个测段测距三角高程的累积误差，应为±19.9 cm，此时边远山区待求点(测线终端)的正常高的误差为(152+19.92)1/2＝±24.9 cm。若该(端)点与附近控制点进行GPS高精度联测，并可使大地高的精度达到15 cm,最终可算得高程异常的总误差为(4.92+152)1/2＝±29.1 cm，这已经等同于GPS水准的精度［9］。
3 (ξ-N)中的二次项改正
在一些高山地区尤其是在山项或山谷处，仅用如下的一次项改正公式是不能满足精度要求的，这时
式中： 为从地球椭球到地球表面正常重力平均值，H为正常高，ΔgB为布格重力异常。对于顾及二次项的表达式为
式中 为空间重力异常的垂直梯度。从这里可以看出，欲求高程二次项改正的关键是要确定 。为此本文作如下讨论。
众所周知，山区的空间异常主要反映了地表处物质界面(地形)的特性，它与起伏的地形相关得很好，两者的相关系数在山区可达0.96～0.97 ［10］。而空间异常的垂直梯度更反映了接近测点的起伏水平的地形特征，只是它的波长比空间异常更短，它与局部地形效应更为密切，因此我们可用地形数据(包括山岩密度)来推求。为便于误差讨论，以下将空间异常的相关系数(0.96)与1的差值(0.04)表示异常垂直梯度的代表误差(相对)。
设以计算点为坐标原点，选取Z轴向下的坐标系。对于实心圆柱和空心圆柱体引起的异常垂直梯度可分别用以下两式表示［11］：
(8)
(9)
式中：G为引力常数，ρ为表层山岩密度，Z为测点距高为H的圆柱顶部中心的距离，R，R1，R2分别为圆柱的半径及内、外半径。
依等影响原则可以对圆柱体进行环带的划分，具体计算公式如下：
令
i=(1)/(2)(Ri+Ri-1)
Δri=Ri+1-Ri
Δri-1=Ri-Ri-1
从上式可以看出，若已知第一个环带的内外半径，则第二个环带的两个半径之差Δr即可求出。如第一个环带的内外半径为R1＝30 m,R2＝90 m，由此可推出第二个环带半径Δr=214 m，依此可以类推出i=3,4，……的环带半径，当推到i=9环带后，相应的外半径为165 km，对于高度为4 km的空心圆柱，它对梯度的影响也只有8 ns-2。
对于地形高不精确引起的误差
式中：mH为高程误差，A为地面的倾角，R2为第二个环带的半径。
根据公式(8)，经推导，可以求得因山岩密度不精确引起的误差公式
式中mρ为选取山岩的密度误差。
此外，我们还对地球曲率与略去远区域(计算是在有限范围内进行)的影响进行了估算，计算的结果表明：它们的影响较小，都可以忽略(详见关于地形质量确定异常垂直梯度的几个问题)。
根据以上分析，在略去地球曲率及远区域的影响后，用地形数据计算异常梯度的误差包括有：代表误差mr，高程和山岩密度不精确引起的误差mH和mvp。因此对于异常梯度达到1 000 ns-2时的总的误差如下：
从上面分析中可以看出，在用地形质量作异常垂直梯度，它的代表误差仍占重要部分，其相对误差为5%，但当该量小于600 ns-2时，高程的误差则变为主要部分，那时总的误差MS将小于40 ns-2。这相当于在1 m的高差内以4×10-8 ns-2的精度作实际梯度的观测，依目前情况看，两者是很接近的。
根据以上方法，我们利用地形图及岩石密度资料，对珠穆朗玛峰和佘山分别进行了异常梯度的计算，辅之以其它数据，确定的珠峰大地水准面相对于WGS-84椭球为-30.36±0.28 m，高程为8847.82±0.28 m［12］。若不顾及异常垂直梯度的影响，将导致大的误差。对于佘山，计算的异常梯度为924 ns-2，将它与正常重力垂直梯度3086 ns-2相加，则得4010 ns-2,此值与实测值3960 ns-2相差为50 ns-2。但这里包括了实测的与计算的误差。事实上，在国家85重力网中，利用两台LCR-G型重力仪在佘山六次观测的误差为±30 ns-2。由于佘山的海拔仅为98 m，故异常梯度项对大地水准面的改正很小，但这在我国西部特高山地区必须考虑，若在海拔为6 000 m的高山之巅，其上的异常梯度与佘山相同，则略去该项(见式(7))的影响将为3 m。另有意义的是，从该例说明了用本文的方法计算得到的结果，与实测的很为接近。
顺便指出，自1995年斯教伯格［1］提出并证明(ζ-N)中的二次项改正后，随即引起国内外学者的关注。例如，1997年拉普指出［13］，关于该项有多大影响，这是有待进一步研究的问题。本文在此所作的介绍，正是我们在这一问题上的研究和进展。
±40 ns-2空间异常垂直梯度的误差，对于高程为5 000 m的高山，它给(ζ-N)带来的影响为±0.051 m。若(ζ-N)第一项中的ΔgB的误差为±5×10-8 ms-2，由此引起的误差为±0.026 m。它们的总误差为±0.057 m。在顾及用本文的方法测定高程异常的误差±0.291 m后，则由ζ归化到大地水准面的误差为 。这就是说对于幅员广大的我国的任何一点(包括山区)，如采用本文的方法，大地水准面的精度可达30 cm。
4 结语
(1) 利用GPS测距三角高程，可以使我国中西部山区高程异常精度有大的提高，而且用这种方法施测要比GPS水准和加密重力更为经济。
(2) 在由高程异常转化为大地水面时，必须顾及空间异常垂直梯度的改正，因为在山区该项改正是相当大的。
(3) 在山区尤其是高山地区，采用地形质量计算异常垂直梯度是一个比较理想和实际可行的方法。
(4) 采用以上方法推求的我国边远山区的任意一点大地水准面的精度可达30 cm。
参考文献
1 Sjoberg L E. On the Quasigeoid to Geoid Separation. Manuscripta Geodetica 1995,20:182～192
2 Smith D E, et al. Contribution of Space Geodesy to Geodynamics. Technology, 1993,25:195～213
3 王解先等.EPOCH’92全球GPS联测部分站资料的解释结果.测绘学报，1994，23(3)：210～215
4 王泽民，张学廉.我国GPS大地高分析.地壳形变与地震，1997，17(1)：28～33
5 陈俊勇.论珠穆朗玛峰地区垂直折光问题.测绘学报，1993，22(2)：155～158
6 张赤军.测距三角高程中的大气折射问题.地壳形变与地震，1996，16(4)：21～25
7 张赤军.测距三角高程中的垂线偏差问题.测绘学报，1997，26(1)：58～64
8 国家技术监督局：国家三、四等水准测量规范.北京：中国标准出版社，1992
9 魏子卿.关于布设GPS大地水准网的建议.测绘学报，1992，21(4)：312～321
10 Kono M. Gravity in East Nepal and their Implications to the Crust Structure of Himalayas. Geophys. J. R. Astr. Soc 1974,39:283～299
11 Elkins T A. Vertical Gradient of Gravity on Axis for Hollow and Solid Cylinders. Geophysics, 1966,31(40):816～820
12 张赤军.珠穆朗玛峰大地水准面和高程的确定.科学通报，1997，42(23)：2543～2545
13 Rapp R H. Use of Potential Coefficient Models for Geoid Undulation Determinations Using a Spherical Harmonic Representation of the Height Anomaly Geoid Undutation. Journal of Geodesy,1997,71:282～289
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